洛谷 P1196 [NOI2002]银河英雄传说 题解【并查集】

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    这个题应该是带权并查集的应用。

目录

【问题描述】

公元五八○一年，地球居民迁移至金牛座α第二行星，在那里发表银河联邦创立宣言，同年改元为宇宙历元年，并开始向银河系深处拓展。

 

宇宙历七九九年，银河系的两大军事集团在巴米利恩星域爆发战争。泰山压顶集团派宇宙舰队司令莱因哈特率领十万余艘战舰出征，气吞山河集团点名将杨
威利组织麾下三万艘战舰迎敌。

 

杨威利擅长排兵布阵，巧妙运用各种战术屡次以少胜多，难免恣生骄气。在这次决战中，他将巴米利恩星域战场划分成 30000 列，每列依次编号为1,2,…,30000。之后，他把自己的战舰也依次编号为1,2, …,30000，让第i号战舰处于第i列(i=1,2,…,30000)，形成“一字长蛇阵”，诱敌深入。这是初始阵形。当进犯之敌到达时，杨威利会多次发布合并指令，将大部分战舰集中在某几列上，实施密集攻击。合并指令为M i j，含义为让第i号战舰所在的整个战舰队列，作为一个整体（头在前尾在后）接至第j号战舰所在的战舰队列的尾部。显然战舰队列是由处于同一列的一个或多个战舰组成的。合并指令的执行结果会使队列增大。

 

然而，老谋深算的莱因哈特早已在战略上取得了主动。在交战中，他可以通过庞大的情报网络随时监听杨威利的舰队调动指令。

 

在杨威利发布指令调动舰队的同时，莱因哈特为了及时了解当前杨威利的战舰分布情况，也会发出一些询问指令：C i j。该指令意思是，询问电脑，杨威利的第i号战舰与第j号战舰当前是否在同一列中，如果在同一列中，那么它们之间布置有多少战舰。

 

作为一个资深的高级程序设计员，你被要求编写程序分析杨威利的指令，以及回答莱因哈特的询问。

最终的决战已经展开，银河的历史又翻过了一页……

【输入文件】

输入文件galaxy.in的第一行有一个整数T（1<=T<=500,000），表示总共有T条指令。

 

以下有T行，每行有一条指令。指令有两种格式：

1. M i j ：i和j是两个整数（1<=i,j<=30000），表示指令涉及的战舰编号。该指令是莱因哈特窃听到的杨威利发布的舰队调动指令，并且保证第 i 号战舰与第 j 号战舰不在同一列。
2. C i j ：i和j是两个整数（1<=i,j<=30000），表示指令涉及的战舰编号。该指令是莱因哈特发布的询问指令。

【输出文件】

输出文件为 galaxy.out。你的程序应当依次对输入的每一条指令进行分析和处理：

如果是杨威利发布的舰队调动指令，则表示舰队排列发生了变化，你的程序要注意到这一点，但是不要输出任何信息；

如果是莱因哈特发布的询问指令，你的程序要输出一行，仅包含一个整数，表示在同一列上，第 i 号战舰与第 j 号战舰之间布置的战舰数目。如果第 i 号战
舰与第 j 号战舰当前不在同一列上，则输出–1。

【样例输入】

4
M 2 3
C 1 2
M 2 4
C 4 2

【样例输出】

–1
1

【样例说明】

 

战舰位置图：表格中阿拉伯数字表示战舰编号

题解：

    如果不询问两艘战舰之间的距离，那么这个题就是一个裸的并查集。但是元素并查集之间会有距离，因此就要想办法维护这个距离。

    一开始，30000个元素都是各自独立的。我们维护每个祖先有多少个后代（包括自己），这样在有元素接到自己后面时就可以直接给出它到自己的距离。而我们想在一条链上求出两点间的距离，只需要求出它们各自到根节点的距离再相减即可，所以并查集维护的是自己的某个祖先和到这个祖先的距离。而我们要找到树的根，也就是最早的祖先，那么就得路径压缩。如果不路径压缩这个题就是$ O(N^2)$了。

    在路径压缩过程中，会有祖先还能找到它的祖先的情况，这时我们要先把第一层祖先的处理完，更新它到它最早祖先的距离，再递归处理，把祖先按路径压缩更新，并更新距离为到之前祖先的距离加上之前祖先到现在祖先的距离，这样问题就有了阶段性，路径压缩就有了意义。这样一来我们只需要维护祖先的后代个数，并在上面这个过程中维护到祖先的距离就可以了。

    对粗体文本的解释：假设当前存储的C的祖先为B，B的祖先为A，而dis[b]=x,dis[c]=y，这样把s[c]更新为A时就要把dis[c]+=dis[b]了。顺带解释一下把B合并到A后面时，原本A有n个后代，B有m个，合并后B的后代信息就没用了，把A的后代信息加上B的。

    这个题最重要的思想就是在路径压缩过程中更新到根节点（祖先）的距离，和祖先的后代个数。

Code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
int s[31000];
int l[31000];
int dis[31000];
int Abs(int x)
{
    return x<0?-x:x;
}
int my_find(int x)
{
    if(s[x]==x)
        return x;
    int tmp=s[x];
    s[x]=my_find(s[x]);
    dis[x]+=dis[tmp];
    return s[x];
}
void my_union(int x,int y)//x拼到y后面
{
    int sx=my_find(x),sy=my_find(y);
    s[sx]=sy;
    dis[sx]=l[sy];
    l[sy]+=l[sx];
}
int main()
{
    char op[10];
    int T,u,v;
    scanf("%d",&T);
    for(int i=1;i<=30000;i++)
    {
        s[i]=i;
        l[i]=1;
        dis[i]=0;
    }
    while(T--)
    {
        scanf("%s",op);
        scanf("%d%d",&u,&v);
        if(op[0]=='M')
            my_union(u,v);
        else
        {
            if(my_find(u)!=my_find(v))
                puts("-1");
            else
                printf("%d\n",Abs(dis[u]-dis[v])-1);
        }
    }

    return 0;
}