洛谷 P1040 NOIp2003提高组 加分二叉树 题解【区间DP】【树的遍历】

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    树的中序遍历实则就表示了一棵子树的形态。

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题目描述

设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（1,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为di,tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：

 

subtree的左子树的加分×subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数。

若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出；

（1）tree的最高加分

（2）tree的前序遍历

输入输出格式

输入格式：

第1行：1个整数n(n<30)，为节点个数。

第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数<100）。

输出格式：

第1行：1个整数，为最高加分（Ans≤4,000,000,000）。

第1行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

输入输出样例

输入样例#1：

5
5 7 1 2 10

输出样例#1：

145
3 1 2 4 5

题解：

    一棵二叉树的中序遍历应该是这样的：

    它的根节点的左边是一个连续的区间，右边也是一个连续的区间，自己是中间隔开这两个区间的一个元素。当我们选定一个根的时候，它需要选它左边相邻的一个区间（可以为空）和它右边相邻的一个区间（可以为空）合并到一起。这样就有了很显然的区间关系，容易联想到区间DP。

    和正常的区间DP一样，我们要枚举左端点，长度，以及断点。此时的断点就是当前子树的根节点，每次更新DP答案时要把这个答案也存起来，方便最后的先序遍历。

Code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
long long f[33][33];
int root[33][33];
long long a[33];
void dfs(int l,int r)
{
    if(l>r)
        return;
    printf("%d ",root[l][r]);
    dfs(l,root[l][r]-1);
    dfs(root[l][r]+1,r);
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n+1;i++)
        f[i][i-1]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&a[i]);
        f[i][i]=a[i];
        root[i][i]=i;
    }
    for(int l=1;l<n;l++)
        for(int i=1;i<=n-l;i++)
            for(int j=i;j<=i+l;j++)
                if(f[i][i+l]<f[i][j-1]*f[j+1][i+l]+a[j])
                {
                    f[i][i+l]=f[i][j-1]*f[j+1][i+l]+a[j];
                    root[i][i+l]=j;//存下根
                }
    printf("%lld\n",f[1][n]);
    dfs(1,n);//输出先序
    return 0;
}