洛谷 P2123 皇后游戏 题解【贪心】【数学】

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    原来排序的条件可以并不线性。。。

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题目背景

还记得NOIP 2012提高组Day1的国王游戏吗？时光飞逝，光阴荏苒，两年过去了。国王游戏早已过时，如今已被皇后游戏取代，请你来解决类似于国王游戏的另一个问题。

 

题目描述

皇后有$ n$位大臣，每位大臣的左右手上面分别写上了一个正整数。恰逢国庆节来临，皇后决定为$ n$位大臣颁发奖金，其中第$ i$位大臣所获得的奖金数目为第$ i-1$位大臣所获得奖金数目与前$ i$位大臣左手上的数的和的较大值再加上第$ i$位大臣右手上的数。

 

形式化地讲：我们设第$ i$位大臣左手上的正整数为$ a_i$，右手上的正整数为$ b_i$，则第$ i$位大臣获得的奖金数目为$ c_i$可以表达为：

$$c_i\left\{\begin{aligned}a_1+b_i& & i=1 \\ \max \{ c_{i-1},\sum_{j=1}^{i}a_j\} & & 2\le i\le n\end{aligned}\right.$$

当然，吝啬的皇后并不希望太多的奖金被发给大臣，所以她想请你来重新安排一下队伍的顺序，使得获得奖金最多的大臣，所获奖金数目尽可能的少。

 

注意：重新安排队伍并不意味着一定要打乱顺序，我们允许不改变任何一位大臣的位置。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含一个正整数$ T$，表示测试数据的组数。

 

接下来$ T$个部分，每个部分的第一行包含一个正整数$ n$，表示大臣的数目。

 

每个部分接下来$ n$行中，每行两个正整数，分别为$ a_i$和$ b_i$，含义如上文所述。

 

输出格式：

共$ T$行，每行包含一个整数，表示获得奖金最多的大臣所获得的奖金数目。

 

输入输出样例

输入样例#1：

1
3
4 1
2 2
1 2

输出样例#1：

8

输入样例#2：

2
5
85 100
95 99
76 87
60 97
79 85
12
9 68
18 45
52 61
39 83
63 67
45 99
52 54
82 100
23 54
99 94
63 100
52 68

输出样例#2：

528
902

说明

按照 1、2、3 这样排列队伍，获得最多奖金的大臣获得奖金的数目为 10；

按照 1、3、2 这样排列队伍，获得最多奖金的大臣获得奖金的数目为 9；

按照 2、1、3 这样排列队伍，获得最多奖金的大臣获得奖金的数目为 9；

按照 2、3、1 这样排列队伍，获得最多奖金的大臣获得奖金的数目为 8；

按照 3、1、2 这样排列队伍，获得最多奖金的大臣获得奖金的数目为 9；

按照 3、2、1 这样排列队伍，获得最多奖金的大臣获得奖金的数目为 8。

当按照 3、2、1 这样排列队伍时，三位大臣左右手的数分别为：(1, 2)、(2, 2)、(4, 1)

第 1 位大臣获得的奖金为 1 + 2 = 3；

第 2 位大臣获得的奖金为 max{3, 3} + 2 = 5；

第 3 为大臣获得的奖金为 max{5, 7} + 1 = 8。

对于全部测试数据满足：$ T\le 10,\ 1\le n\le 20000,\ 1\le a_i, b_i\le 10^9$。

题解：

    动手推式子解决一切！

    一开始想过一些贪心，比如说$ a_i+b_i$升序，$ a_i-b_i$升序等等，发现都能过样例但是交上去GG。推了公式才知道，两个数谁先谁后是要互相关联的。

    首先我们可以知道，得到奖金最多的一定是最后一个大臣，因为他至少有一个$ b_n$的加成。我们只要贪出来（说得容易）直接输出最后一个数的答案就可以了。

    假设一共只有两个大臣，我们会怎么排序？设两个人的数分别为$ a_1,b_1,a_2,b_2$。当1号大臣在前面，则2号大臣的得分是$$c_2=\max \{ a_1+a_2,a_1+b_1\}+b_2=\max \{ a _2,b_1\} +a_1+b_2$$

    当2号大臣在前面，则1号大臣的得分是$$c_1=\max\{ a_1,b_2\} +a_2+b_1$$。

    对于每一对大臣，我们都想让排在后面的尽可能小，因为答案在最后面产生，所以在综合比较两个大臣上面的两个信息时，把$ c$较小的那个大臣放在后面，对后面产生的影响就尽可能地小了。因此我们在比较相邻两个元素排序时，按照上面的式子逆序比较，排完序后模拟输出最后一名大臣的得分就是最终答案了。

Code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using std::max;
struct minist
{
    long long a,b;
    friend bool operator <(minist a,minist b)
    {
        return a.a+b.b+max(a.b,b.a)<a.b+b.a+max(a.a,b.b);//注意上面移项了（好看）
    }
}a[20100];
long long pnt[20100];
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%lld%lld",&a[i].a,&a[i].b);
        std::sort(a+1,a+1+n);
        long long sum=a[1].a;
        pnt[1]=a[1].a+a[1].b;
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            sum+=a[i].a;
            pnt[i]=std::max(pnt[i-1],sum)+a[i].b;//直接模拟
        }
        printf("%lld\n",pnt[n]);
    }
    return 0;
}