洛谷P2375 [NOI2014]动物园 题解【KMP】

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    一开始的方向应该对了，但是没有想到合理的优化还是没写出来……

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题目描述

近日，园长发现动物园中好吃懒做的动物越来越多了。例如企鹅，只会卖萌向游客要吃的。为了整治动物园的不良风气，让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的，园长决定开设算法班，让动物们学习算法。

 

某天，园长给动物们讲解KMP算法。

 

园长：“对于一个字符串\(S\)，它的长度为\(L\)。我们可以在\(O(L)\)的时间内，求出一个名为\(next\)的数组。有谁预习了\(next\)数组的含义吗？”

 

熊猫：“对于字符串\(S\)的前\(i\)个字符构成的子串，既是它的后缀又是它的前缀的字符串中（它本身除外），最长的长度记作\(next[i]\)。”

 

园长：“非常好！那你能举个例子吗？”

 

熊猫：“例\(S\)为abcababc，则\(next[5]=2\)。因为\(S\)的前\(5\)个字符为abcab，ab既是它的后缀又是它的前缀，并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理，还可得出\(next[1]=next[2]=next[3]=0,next[4]=next[6]=1,next[7]=2,next[8]=3\)。”

 

园长表扬了认真预习的熊猫同学。随后，他详细讲解了如何在\(O(L)\)的时间内求出\(next\)数组。

 

下课前，园长提出了一个问题：“KMP算法只能求出\(next\)数组。我现在希望求出一个更强大num数组一一对于字符串\(S\)的前\(i\)个字符构成的子串，既是它的后缀同时又是它的前缀，并且该后缀与该前缀不重叠，将这种字符串的数量记作\(num[i]\)。例如\(S\)为aaaaa，则\(num[4]=2\)。这是因为\(S\)的前\(4\)个字符为aaaa，其中a和aa都满足性质‘既是后缀又是前缀’，同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。而aaa虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’，但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了，所以不能计算在内。同理，\(num[1]=0,num[2]=num[3]=1,num[5]=2\)。”

 

最后，园长给出了奖励条件，第一个做对的同学奖励巧克力一盒。听了这句话，睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了！但企鹅并不会做这道题，于是向参观动物园的你寻求帮助。你能否帮助企鹅写一个程序求出\(num\)数组呢？

 

特别地，为了避免大量的输出，你不需要输出\(num[i]\)分别是多少，你只需要输出\(\prod_{i=1}^L (num[i]+1)\)，对\(1,000,000,007\)取模的结果即可。

其中\(\prod_{i=1}^n (num[i]+1)=(num[1]+1)\times (num[2]+1)\times \dots \times (num[n]+1)\)。

 

输入输出格式

输入格式：

第\(1\)行仅包含一个正整数\(n\) ，表示测试数据的组数。

随后\(n\)行，每行描述一组测试数据。每组测试数据仅含有一个字符串\(S\)，\(S\)的定义详见题目描述。数据保证\(S\)中仅含小写字母。输入文件中不会包含多余的空行，行末不会存在多余的空格。

 

输出格式：
 

包含\(n\)行，每行描述一组测试数据的答案，答案的顺序应与输入数据的顺序保持一致。对于每组测试数据，仅需要输出一个整数，表示这组测试数据的答案对\(1,000,000,007\)取模的结果。输出文件中不应包含多余的空行。

输入输出样例

输入样例#1：

3
aaaaa
ab
abcababc

输出样例#1：

36
1
32 

说明

测试点编号	约定
1	\(N≤5,L≤50\)
2	\(N≤5,L≤200\)
3	\(N≤5,L≤200\)
4	\(N≤5,L≤10,000\)
5	\(N≤5,L≤10,000\)
6	\(N≤5,L≤100,000\)
7	\(N≤5,L≤200,000\)
8	\(N≤5,L≤500,000\)
9	\(N≤5,L≤1,000,000\)
10	\(N≤5,L≤1,000,000\)

题解：

    既然题面中反复提到KMP，那这道题就应该与KMP紧密相关。

    我们知道，当模式串匹配自己失配时，会立即跳到下一个nxt[]去，在nxt[]为0之前，跳了多少个nxt就说明有多少个与后缀相同的前缀，也是nxt的其中一个定义。这样我们就有了\(O(n^2)\)暴力算法，求完\(nxt[i]\)后，递归nxt，看有多少次值在\(\lfloor \frac i2\rfloor\)以内。

    考虑优化这个递归过程。因为现在的\(nxt[i]\)可以从前面的\(nxt[j]+1\)转移过来，因此现在的\(num[i]\)也可以从前面的\(num[j]+1\)转移过来。于是\(nxt[i]\)只从\(\le \lfloor \frac i2\rfloor\)转移。于是有了下面这段代码：

for(int i=2,j=0;i<=n;++i)
{
    while(j&&(s[j+1]!=s[i]||j+1>(i>>1)))//保证了只从i>>1转移过来，j+1是考虑匹配上了会增加1
        j=nxt[j];
    if(s[j+1]==s[i])
        ++j;
    nxt[i]=j;
    num[i]=num[j]+1;
}

    交上去……0分？手测了一下发现会有这种情况：

aaaaaaa
      ↑

    \(num[7]\)按照上面的代码应该从\(num[3]\)转移得到\(num[7]=2\)，但是观察发现\(num[7]\)应该=3。为什么呢？\(num[3]\)严格遵守了前后缀不重叠，但是到了\(num[7]\)就没有了\(num[3]\)的约束，也就是\(num[3]\)不能从\(num[2]\)转移，但是\(num[7]\)可以，这样中间\(num[2]\)就会丢失。

    所以，为了不丢失\(num[2]\)我们试着让\(num[i]\)表示可重叠的相等前后缀的个数，只在统计答案时从前面转移就好了。

    其实就是在做第二遍模式串匹配，此时和第一遍一样，只是要控制\(j\le \lfloor \frac i2\rfloor\)，然后更新存储答案的\(num1[i]=num[j]+1\)。

Code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
char s[1000005];
long long num[1000001],num1[1000001];
int nxt[1000001];
void work()
{
    scanf("%s",s+1);
    int n=strlen(s+1);
    num[0]=-1;
    for(int i=2,j=0;i<=n;++i)
    {
        while(j&&s[j+1]!=s[i])
            j=nxt[j];
        if(s[j+1]==s[i])
            ++j;
        nxt[i]=j;
        num[i]=num[j]+1;
    }
    for(int i=2,j=0;i<=n;++i)
    {
        while(j&&(s[j+1]!=s[i]||j+1>(i>>1)))//和上面的比只加了一个条件
            j=nxt[j];
        if(s[j+1]==s[i])
            ++j;
        num1[i]=num[j]+1;//从前面的nxt转移过来
    }
    long long ans=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        //printf("%d ",num1[i]);调试用
        ans*=num1[i]+1;
        ans%=1000000007;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return;

}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        work();
    return 0;
}