洛谷 P2467 [SDOI2010]地精部落 题解【DP】【波动数列】【分类讨论】

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波动数列，分析过程麻烦，代码简单。

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题目描述

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。

 

地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为N的山脉H可分为从左到右的N段，每段有一个独一无二的高度Hi，其中Hi是1到N之间的正整数。

 

如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。

 

类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。

 

地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。

 

地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。

 

地精们希望这N段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足这个条件的整座山脉才可能有地精居住。

 

现在你希望知道，长度为N的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A和B不同当且仅当存在一个i，使得Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它除以P的余数感兴趣。

 

输入输出格式

输入格式：

输入文件goblin.in仅含一行，两个正整数N, P。

 

输出格式：

输出文件goblin.out仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余之后的结果。

 

输入输出样例

输入样例#1：

4 7

输出样例#1：

3

说明

共有10种可能的山脉，它们是：

1324 1423 2143 2314 2413

3142 3241 3412 4132 4231

 

其中加下划线的数位表示可以设立瞭望台的山峰，其他表示可以设立酒馆的山谷。

【数据规模和约定】

对于20%的数据，满足N≤10；

 

对于40%的数据，满足N≤18；

 

对于70%的数据，满足N≤550；

 

对于100%的数据，满足3≤N≤4200，P≤1e9。

 

  如果打全排列的话，只有20分，正解是动态规划。

  f[i][k]表示对于1到i的数中，以j为最左端，且j为波峰时，方案的个数。

  这个题目用了一个波动数列的思想，波动数列有以下几点性质（设所有数字是连续的）

1. 如果k和k-1不相邻，那么它们可以互换，交换后仍然是一个波动数列。因为如果t>k，则t>k+1，每个数都不相等。因此当k和k-1或k+1不相邻时，f[i][k]=f[i][k-1].
2. 对于一个波动数列来说，如果将它倒过来，即把k用（i+1-k）来代替，那么它还是一个波动数列，如图三，把原来的5看作0，把原来的4看作1，这个波动数列就是3 1 4 2 根据这个结论，我们可以看出，我们找的波动序列实际上只有一半，在最后的结果中要将它乘上2。
3. 如果k和k-1相邻，我们的数列就是k,k-1,…,…。k后面的数是1到k-1和k+1到i。因为k+1到i与1到k-1没有交集，所以我们可以将后面的数列视作1到i-1。这样我们可以分两种情况。

  首先，1自己既是山峰又是山谷。f[1][1]=1。

  对于其他情况，我们可以分为以k为首，第二个数不是k-1和第二个数是k-1两种情况：

1. 当第二个数不是k-1时，根据第一个性质，k和k-1互换后，等价于f[i][k-1]，因此是f[i][k]的其中一条转移途径。
2. 当第二个数是k-1时，根据第三个性质，k被取出，后面的数相当于在1到i-1的范围中，这样k后面有i-1个数，且以k-1为首，但是此时k-1是山谷，那么我们要利用性质二，变成f[i-1][i-1+1-(k-1)]，f[i-1][i-1+1-(k-1)]又是f[i][k]的一条转移途径。(注意，翻转时一定要+1)

  以上两种情况对数列除了在前面加了个k以外没有任何影响，可以直接转移，并没有后效性。

至此，我们这个题就算结束了。

Code:

#include<cstdio>
#include<cstring>
int f[4205][4205];//表示有i个数，以j为最左端，且为山峰
int main()
{
    memset(f,0,sizeof(f));
    int n;
    long long p;
    scanf("%d%lld",&n,&p);
    f[1][1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            f[i][j]=(f[i][j-1]+f[i-1][i-(j-1)])%p;
    long long ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans+=f[n][i]%p;
    ans*=2;
    ans%=p;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}