洛谷 P2467 [SDOI2010]地精部落 题解【DP】【波动数列】【分类讨论】

作者: wjyyy 分类: DP,分类讨论,解题报告 发布时间: 2018-05-22 17:44

点击量:31

波动数列,分析过程麻烦,代码简单。

题目描述

传说很久以前,大地上居住着一种神秘的生物:地精。

 

地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说,一座长度为N的山脉H可分为从左到右的N段,每段有一个独一无二的高度Hi,其中Hi是1到N之间的正整数。

 

如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高,则这段山脉是一个山峰。位于边缘的山脉只有一段相邻的山脉,其他都有两段(即左边和右边)。

 

类似地,如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低,则这段山脉是一个山谷。

 

地精们有一个共同的爱好——饮酒,酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆不论白天黑夜总是人声鼎沸,地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。

 

地精还是一种非常警觉的生物,他们在每座山峰上都可以设立瞭望台,并轮流担当瞭望工作,以确保在第一时间得知外敌的入侵。

 

地精们希望这N段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一,只有满足这个条件的整座山脉才可能有地精居住。

 

现在你希望知道,长度为N的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A和B不同当且仅当存在一个i,使得Ai≠Bi。由于这个数目可能很大,你只对它除以P的余数感兴趣。

 

输入输出格式

输入格式:

输入文件goblin.in仅含一行,两个正整数N, P。

 

输出格式:

输出文件goblin.out仅含一行,一个非负整数,表示你所求的答案对P取余之后的结果。

 

输入输出样例

输入样例#1:
4 7
输出样例#1:
3

说明

共有10种可能的山脉,它们是:

1324 1423 2143 2314 2413

3142 3241 3412 4132 4231

 

其中加下划线的数位表示可以设立瞭望台的山峰,其他表示可以设立酒馆的山谷。

【数据规模和约定】

对于20%的数据,满足N≤10;

 

对于40%的数据,满足N≤18;

 

对于70%的数据,满足N≤550;

 

对于100%的数据,满足3≤N≤4200,P≤1e9。

 

  如果打全排列的话,只有20分,正解是动态规划。

 

  f[i][k]表示对于1到i的数中,以j为最左端,且j为波峰时,方案的个数。

 

  这个题目用了一个波动数列的思想,波动数列有以下几点性质(设所有数字是连续的)

 

  1. 如果k和k-1不相邻,那么它们可以互换,交换后仍然是一个波动数列。因为如果t>k,则t>k+1,每个数都不相等。因此当k和k-1或k+1不相邻时,f[i][k]=f[i][k-1].
  2. 对于一个波动数列来说,如果将它倒过来,即把k用(i+1-k)来代替,那么它还是一个波动数列,如图三,把原来的5看作0,把原来的4看作1,这个波动数列就是3 1 4 2 根据这个结论,我们可以看出,我们找的波动序列实际上只有一半,在最后的结果中要将它乘上2。
  3. 如果k和k-1相邻,我们的数列就是k,k-1,…,…。k后面的数是1到k-1和k+1到i。因为k+1到i与1到k-1没有交集,所以我们可以将后面的数列视作1到i-1。这样我们可以分两种情况。

 

  首先,1自己既是山峰又是山谷。f[1][1]=1。

 

  对于其他情况,我们可以分为以k为首,第二个数不是k-1和第二个数是k-1两种情况:

  1. 当第二个数不是k-1时,根据第一个性质,k和k-1互换后,等价于f[i][k-1],因此是f[i][k]的其中一条转移途径。
  2. 当第二个数是k-1时,根据第三个性质,k被取出,后面的数相当于在1到i-1的范围中,这样k后面有i-1个数,且以k-1为首,但是此时k-1是山谷,那么我们要利用性质二,变成f[i-1][i-1+1-(k-1)],f[i-1][i-1+1-(k-1)]又是f[i][k]的一条转移途径。(注意,翻转时一定要+1)

  以上两种情况对数列除了在前面加了个k以外没有任何影响,可以直接转移,并没有后效性。

 

至此,我们这个题就算结束了。

 

Code:

#include<cstdio>
#include<cstring>
int f[4205][4205];//表示有i个数,以j为最左端,且为山峰
int main()
{
    memset(f,0,sizeof(f));
    int n;
    long long p;
    scanf("%d%lld",&n,&p);
    f[1][1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            f[i][j]=(f[i][j-1]+f[i-1][i-(j-1)])%p;
    long long ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans+=f[n][i]%p;
    ans*=2;
    ans%=p;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

 

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