洛谷 P1052 NOIp2005提高组 过河 题解【离散化】【DP】

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   比较有思想的DP题。

目录

题目描述

在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0,1,…,L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是 S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。

题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

输入输出格式

输入格式：

第一行有3个正整数$ L(1 \le L \le 10^9)$，表示独木桥的长度。

第二行有3个正整数S,T,M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离及桥上石子的个数，其中 $ 1 \le S \le T \le 10, 1 \le M \le 100$。

第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

输出格式：

一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

 

输入输出样例

输入样例#1：

10

2 3 5

2 3 5 6 7

输出样例#1：

2

说明

对于30%的数据，$ L \le 10000$；

对于全部的数据，$ L \le 10^9$。

解法：

   这个题数据范围是$ 10^9$，显然是要离散化的，最方便的办法是缩点，因为最多只有100个石头且一步最远只能跳10个单位。

   在这里介绍几个缩点方法以及说明：

   首先是2520缩，2520是gcd(1,…,10))，因此从一个点出发，无论青蛙能跳的距离是多少，它一定可以到达距离2520处。所以在前方2520没有石头时，可以将当前点向后移2520或者将后面的点向前移2520；

   还有一种是72缩，因为1~10这些数字最小不能表示的数是72（见NOIP2017D1T1小凯的疑惑），而如果前方71距离以内没有石头就可以缩了。

   我写的一种新方法是动态缩点，就是判断当前点前面t个点（t同题意）是否都相同，如果都相同，说明这个点从前面这s-t的点转移都是相同情况，这样递推到下一个石头之前都是一样的，因此可以将石头移到这个点的下一个点（也可以是这个点）这样就把该缩的点都缩了，不需要借助任何数论知识，但是当s==t时需要特判。

Code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
int f[10000002];
int a[102];
int main()
{
    int l,s,t,m;
    scanf("%d%d%d%d",&l,&s,&t,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    a[m+1]=l;
    std::sort(a+1,a+m+2);//石头给出的顺序不一定是升序
    if(s==t)
    {
        int sum=0;
        for(int i=1;i<=m;i++)
            if(a[i]%s==0)
                sum++;
        printf("%d\n",sum);
        return 0;
    }
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    f[0]=0;
    int sam=0,p=0;//sam存储到现在有几个f相同,p存当前是第几颗石头
    bool flag;
    for(int i=1;i<=a[m+1];i++)
    {
        if(sam>=t)//缩点操作
        {
            sam=1;
            int d=a[p+1]-i;
            for(int j=p+1;j<=m+1;j++)
                a[j]-=d;
        }
        flag=false;
        if(i==a[p+1])
        {
            p++;
            flag=true;//声明当前是石头
        }
        for(int j=s;j<=t;j++)
            if(i-j>=0&&f[i]>f[i-j])
                f[i]=f[i-j]+(flag?1:0);
        if(f[i]==f[i-1])
            sam++;
        else
            sam=1;
    }
    int minn=f[a[m+1]]-1;//因为最后一个点被当成石头了
    for(int i=a[m+1]-s;i<=a[m+1];i++)
        if(f[i]<minn)
            minn=f[i];
    printf("%d\n",minn>0?minn:0);
    return 0;
}