洛谷 P1108 低价购买 题解【最长不下降子序列】【DP】

作者: wjyyy 分类: DP,解题报告 发布时间: 2018-05-12 22:26

点击量:96

这不是一道简单的求最长下降子序列的问题。

        ——因为这个题要输出不同种的方案数

题目描述

“低价购买”这条建议是在奶牛股票市场取得成功的一半规则。要想被认为是伟大的投资者,你必须遵循以下的问题建议:“低价购买;再低价购买”。每次你购买一支股票,你必须用低于你上次购买它的价格购买它。买的次数越多越好!你的目标是在遵循以上建议的前提下,求你最多能购买股票的次数。你将被给出一段时间内一支股票每天的出售价(\(2^{16}\) 范围内的正整数),你可以选择在哪些天购买这支股票。每次购买都必须遵循“低价购买;再低价购买”的原则。写一个程序计算最大购买次数。

 

这里是某支股票的价格清单:

 

日期

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

价格

68,69,54,64,68,64,70,67,78,62,98,87
日期 \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(8\) \(9\) \(10\) \(11\) \(12\)
价格 \(68\) \(69\) \(54\) \(64\) \(68\) \(64\) \(70\) \(67\) \(78\) \(62\) \(98\) \(87\)

最优秀的投资者可以购买最多\(4\)次股票,可行方案中的一种是:

日期 \(2\) \(5\) \(6\) \(10\)
价格 \(69\) \(68\) \(64\) \(62\)

输入输出格式

输入格式:

第1行: \(N(1 \le N \le 5000)\),股票发行天数

 

第2行: \(N\)个数,是每天的股票价格。

输出格式:

两个数:
最大购买次数和拥有最大购买次数的方案数(\(\le 2^{31}\))当二种方案“看起来一样”时(就是说它们构成的价格队列一样的时候),这2种方案被认为是相同的。

 

输入输出样例

输入样例#1:
12
68 69 54 64 68 64 70 67 78 62 98 87
输出样例#1:
4 2

题目要求是“它们构成的价格队列不一样”,那么我准备拿一个数组存下这个最长下降子序列,但是这不现实,检查是否匹配是在最坏的情况下可能达到\(Θ(N^3)\)。

 

于是有了现在的解法,让我来简单证明说明一下

 

在dp过程中,f数组存的是最长下降子序列的长度,f数组的下标i是以i结尾的意思,所以最长下降子序列(除了最后一位外)的数据已经丢失,因此不能在方案数相加时判断是否能加。

 

我们从头来看,

1. 如果一个数列的第一个数与另一个数列的第一个数相同,那么现在可以判断它们相等,即可以把其中一个删掉(在代码中的处理是t[i]=0)。当不同的数接在它的后面时,又可以将它们判断为两个数列,这是不互相影响的。因为两个数列都可以由这个相等的数列转移而来

2. 如果一个数列的第一个数与另一个数列的第一个数不同,那么它们不等,且无论后面添加什么,都不相等,即不删去,则按照普通的判断继续做。

 

由上面的两点,我们已经把重复的删掉,这样可以防止重复计数

 

\(tip\):本题如果出现在考试中,请不要冒险定义int,因为maxint是\(2^{31}-1\),会爆int,这个题暂不做深究

 

Code:

#include<cstdio>
#include<cstring>
int max(int x,int y){return x>y?x:y;}
int a[5001],f[5001],t[5001];
//a[i]存的是第i天股票的价格
//f[i]存的是第i天最长下降子序列的长度
//t[i]存的是以i结尾的最长下降子序列的种类(方案)
int main()
{
    memset(f,0,sizeof(f));//初始化长度
    memset(t,0,sizeof(t));//初始化方案
    int n,maxx=0;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<i;j++)
            if(a[i]<a[j])//延长已经存在的最长下降子序列
                f[i]=max(f[i],f[j]+1);
        if(f[i]==0)
            f[i]++;//如果当前的数是目前为止最大的,则最长下降子序列是自己
        if(f[i]>maxx)
            maxx=f[i];//在f数组更新完毕后,存下最长下降子序列的长度
        for(int j=1;j<i;j++)
            if(f[i]==f[j]&&a[i]==a[j])
                t[j]=0;//如果与前面的数列相同,则舍去前面的数列,防止重复计数
            else if(f[i]==f[j]+1&&a[i]<a[j])
                t[i]+=t[j];//如果可以接上前面的数列,则继承其方案数
        if(!t[i])//如果当前的数是目前为止最大的,则是初始方案
            t[i]=1;
    }
    int sum=0;//sum计数,用于存最长下降子序列(方案)的个数
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(f[i]==maxx)
            sum+=t[i];
    printf("%d %d",maxx,sum);
    return 0;
}

 

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