loj 2038 / 洛谷 P4345 [SHOI2015] 超能粒子炮・改 题解【Lucas定理】

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好玩的推式子

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题目描述

曾经发明了脑洞治疗仪与超能粒子炮的发明家 SHTSC 又公开了他的新发明：超能粒子炮・改——一种可以发射威力更加强大的粒子流的神秘装置。

超能粒子炮・改相比超能粒子炮，在威力上有了本质的提升。它有两个参数 $ n$、$ k$，它会向每个编号为 $ 0$ 到 $ k$（包含两端）的位置 $ i$ 发射威力为 $ \mathrm{C}_n^i \bmod 2333$ 的粒子流。

现在 SHTSC 给出了他的超能粒子炮・改的参数，让你求出其发射的粒子流的威力之和除以 $ 2333$ 所得的余数。

输入格式：

第一行一个整数 $ t$ 表示数据组数。
之后 $ t$ 行，每行两个整数 $ n$、$ k$，含义如题面描述。

输出格式：

$ t$ 行，每行一个整数，表示其粒子流的威力之和模 $ 2333$ 的值。

输入输出样例

输入样例：

3
5 5
10 7
1145 14

输出样例：

32
968
763

数据范围与约定

对于 $ 10\%$ 的数据，$ t=1$，$ n,k\le 1000$；
对于 $ 30\%$ 的数据，$ t=1$，$ n,k\leq 1000000$；
对于 $ 50\%$ 的数据，$ t=1$，$ n\le 10^{18},k\le 1000$；
对于 $ 70\%$ 的数据，$ t\le 100$，$ n,k\le 10^{18}$；
对于 $ 100\%$ 的数据，$ t\le 100000$，$ n,k\le 10^{18}$。

题解：

注：本文中所有的除法 $ /$ 都向下取整，所有的百分号 $ \%$ 都表示取模。

这个题求的是 $ \sum_{i=0}^k\mathrm C_n^i\bmod 2333$。但是模数是 $ 2333$ 因此可以考虑 Lucas 定理，即 $ \mathrm C_n^m\% p=\mathrm C_{n\% p}^{m\% p}\mathrm C_{n/p}^{m/p}$。

我们把上面的和式推导一下，则为
$$
\sum_{i=0}^k\mathrm C_{n/2333}^{i/2333}\mathrm C_{n\%2333}^{i\%2333}
$$
然后我们发现，整个过程中 $ n/2333$ 和 $ n\% 2333$ 是不变的。只需要关注 $ i/2333$ 和 $ i\%2333$ 的变化规律。

而对于连续的 $ i\in[2333k,2333k+2333)$ 它们的 $ i/2333$ 是相同的，$ i\%2333\in[0,2333)$，所以我们把需要求和的 $ k$ 个数分成 $ \left\lceil\frac{k}{2333}\right\rceil$ 段。其中前 $ \left\lfloor\frac{k}{2333}\right\rfloor$ 段一定是完整的，因此可以表示为
$$
\sum_{t=0}^{\left\lfloor\frac{k}{2333}\right\rfloor}\mathrm C_{n/2333}^t\sum_{i=0}^{2332}\mathrm C_{n\%2333}^i+\sum_{i=k-k\%2333}^k\mathrm C_{n/2333}^{i/2333}\mathrm C_{n\%2333}^{i\%2333}
$$
对于加号后面的式子，$ i/2333=0$，所以是对后面一个式子求和，因此可以用杨辉三角预处理，并求出前缀和，$ O(1)$ 解决。

对于中间一个式子 $ \sum_{i=0}^{2332}\mathrm C_{n\%2333}^i$ ，因为 $ n\%2333<2333$ ，同理用杨辉三角。

令
$$
\sum_{i=0}^{2332}\mathrm C_{n\%2333}^i=S,\\ \sum_{i=k-k\%2333}^k\mathrm C_{n/2333}^{i/2333}\mathrm C_{n\%2333}^{i\%2333}=A
$$
则原式为
$$
S\sum_{t=0}^{\left\lfloor\frac{k}{2333}\right\rfloor}\mathrm C_{n/2333}^t+A
$$

对于剩下的一个式子，又转化为了一个求和的子问题，因此我们递归解决。递归的边界是 $ k<2333$。

因此可以在 $ 2333^2+O(t\log k)$ 的时间复杂度内解决这个问题。

Code：

#include<cstdio>
#define ll long long
ll C[2333][2333];
ll calc(ll n,ll t)//0~t的C_n^t
{
    ll ans=0,p=n%2333;
    if(t/2333)
        ans=C[p][p]*calc(n/2333,t/2333-1)%2333;
    else
        return C[p][t%2333];
    ll a=n/2333,b=t/2333,tmp=1;
    while(a>=2333||b>=2333)
    {
        if(b%2333)
            tmp=tmp*(C[a%2333][b%2333]-C[a%2333][b%2333-1]+2333)%2333;
        a/=2333,b/=2333;
    }
    if(b)
        tmp=tmp*(C[a][b]-C[a][b-1]+2333)%2333;
    ans=(ans+C[p][t%2333]*tmp)%2333;
    return ans;
}
int main()
{
    C[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=2332;++i)
    {
        C[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;++j)
            C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%2333;
    }
    for(int i=0;i<=2332;++i)
        for(int j=1;j<=2332;++j)
            C[i][j]=(C[i][j-1]+C[i][j])%2333;
    int T;
    ll n,k;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld",&n,&k);
        printf("%lld\n",calc(n,k));
    }
    return 0;
}